【題目】用4個2能擺出那幾個數，其中那個數最大，為什么？

【思路】首先我們會想到2222，所以組成的數中一定有2222，還有我們會想到數學運算符中的平方，比如222^2，22^22，2^222，那么我們思路可不可以延伸一下，思維方式再擴展一下，4個2還可以寫成一個數的平方的平方等格式，那么我們還可以寫出(22^2)^2，(2^22)^2，(2^2)^22，{(2^2)^2}^2這4個數。一般這種格式的數，我們稱為是這個數的“超乘方”，比如：給出3個9，可以寫成這樣的形式：(9^9)^9，所得的數就是9的第三級“超乘方”

【解答】4個2所有可能的擺法一共有8種，即：

2222，222^2，22^22，2^222，(22^2)^2，(2^22)^2，(2^2)^22，{(2^2)^2}^2

這幾個數中，到底哪個最大呢？因此我們要比較這些數的大小。解題過程如下：

我們先來看看前面的4個數，也就是用兩層擺法得到的數，一般解釋為這個數的平方，就是含有2的平方數。顯然，第一個數字2222比后面的3個數都小。我們再比較一下2222后面的兩個數，也就是222^2，22^22

把22^22進行如下變換: 22^22=22^ (2×11) =（22×22）^11=484^11

與222^2相比，484^11的底數和指數都要大得多，所以， 22^22>222^2

再比較一下22^22和第4個數2^222，我們取一個比22^22更大的數32^22，下面就來證明，即使是32^22，也比2^222小

實際上， 32^22=(2^5)^22=2^110，這個數也比2^222小很多。

所以，前4個數中，2^222最大。

再來看后面4個數：

(22^2)^2，(2^22)^2，(2^2)^22，{(2^2)^2}^2

顯然這些數都是含有2的“超乘方”的數，通過對比我們知道最后一個數等于216，它肯定不是最大的，直接淘汰掉。根據由簡到難的解題思路，我們看到(22^2)^2是最簡單的，可以計算出這個數是： (22^2)^2 = 22^4，它是小于32^4=2^20，即，這個數是比(2^22)^2和(2^2)22都要小的。所以這個題目最后就變成了比較這3個數的大小：

2^222，(2^22)^2，(2^2)^22

通過對比和比較這3個數，我們得到這3個數都是以2為底的指數。所以題目演變為只要比較這3個指數------222、 484和2^22的大小即可，那個數的指數最大的對應的數就最大。

通過簡單的對這三個數進行對比，我們知道 2^22比222和484都要大的。因此得出結論：用4個2擺成的最大的數是(2^2)^22。

那么這個數有多大呢？通過簡單的計算和約分(2^2)^22，我們來估算一下這個數到底有多大。

2^10 ≈ 1000 = 10^3

2^22 =(2 ^10)^2 ×2^2 ≈ 4×10^6

(2^2)^22 ≈ 2^4×10^6 = (2^10)^400000 ≈ 10^1200000

通過計算機我們可以算出(2^2)^22 = 17 5921 8604 4416，四舍五入大約是175922億，那么這個數到底有多大呢？可以說根本找不到一個東西來幫我們理解這個數有多大。所以一個正整數（不等于1）的“超乘方”，得到的數字都無法想象和形容。而且一個數的“超乘方”級數越高，數越大。

綜上所述，可得出結論：用4個2組成的數總共有8個，這8個數為：2222，222^2，22^22，2^222，(22^2)^2，(2^22)^2，(2^2)^22，{(2^2)^2}^2，其中(2^2)^22這個數最大。